Question

9．若直線（m+l）x+（n+l）y-2=0（m，n∈R）與圓（x-l）²+（y-1）²=1相切，則m+n的取值范圍是（　�。�

• A． $[1-\sqrt{3}，1+\sqrt{3}]$
• B． $（-∞，1-\sqrt{3}]∪[1+\sqrt{3}，+∞）$
• C． $[2-2\sqrt{2}，2+2\sqrt{2}]$
• D． $（-∞，2-2\sqrt{2}]∪[2+2\sqrt{2}，+∞）$

Answer 1

分析 由圓的標(biāo)準方程找出圓心坐標(biāo)和半徑r，由直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關(guān)系式，整理后利用基本不等式變形，設(shè)m+n=x，得到關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為m+n的范圍．

解答 解：由圓的方程（x-1）²+（y-1）²=1，得到圓心坐標(biāo)為（1，1），半徑r=1，
∵直線（m+1）x+（n+1）y-2=0與圓相切，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|m+n|}{\sqrt{（m+1）^{2}+（n+1）^{2}}}$=1，
整理得：m+n+1=mn≤$（\frac{m+n}{2}）^{2}$，
設(shè)m+n=x，則有x+1≤$\frac{{x}^{2}}{4}$，即x²-4x-4≥0，
∵x²-4x-4=0的解為：x₁=2+2$\sqrt{2}$，x₂=2-2$\sqrt{2}$，
∴不等式變形得：（x-2-2$\sqrt{2}$）（x-2+2$\sqrt{2}$）≥0，
解得：x≥2+2$\sqrt{2}$或x≤2-2$\sqrt{2}$，
則m+n的取值范圍為（-∞，2-2$\sqrt{2}$]∪[2+2$\sqrt{2}$，+∞）．
故選：D．

點評 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了轉(zhuǎn)化及換元的思想，當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．