Question

5．各棱長(zhǎng)都等于4的四面ABCD中，設(shè)G為BC的中點(diǎn)，E為△ACD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且GE∥平面ABD，若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=1，則|$\overrightarrow{AE}$|=$\frac{\sqrt{21}}{2}$．

Answer 1

分析 連接CE，并延長(zhǎng)交AD于F，連接BF，運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理可得EG∥BF，由G為BC的中點(diǎn)，可得E為CF的中點(diǎn)，設(shè)AF=t，再由向量的中點(diǎn)的向量表示，結(jié)合向量的數(shù)量積的性質(zhì)，解得t=1，再由向量的模的公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：連接CE，并延長(zhǎng)交AD于F，連接BF，
由EG∥平面ABD，EG?平面BCF，平面BCF∩平面ABD=BF，
可得EG∥BF，由G為BC的中點(diǎn)，可得E為CF的中點(diǎn)，
設(shè)AF=t，則$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AF}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\frac{t}{4}$$\overrightarrow{AD}$），
在四面體ABCD中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=4×4×$\frac{1}{2}$=8，
$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\frac{t}{4}$$\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{t}{4}$$\overrightarrow{AD}$²-$\frac{t}{4}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{2}$（8-8+$\frac{t}{4}$•16-$\frac{t}{4}$•8）=1，
解得t=1，即$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AD}$），
可得|$\overrightarrow{AE}$|²=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AC}$²+$\frac{1}{16}$$\overrightarrow{AD}$²+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$）
=$\frac{1}{4}$×（16+$\frac{1}{16}$×16+$\frac{1}{2}$×8）=$\frac{21}{4}$，
可得|$\overrightarrow{AE}$|=$\frac{\sqrt{21}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{21}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的模的求法，注意運(yùn)用中點(diǎn)的向量的表示，考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，同時(shí)考查線面平行的性質(zhì)定理的運(yùn)用以及中位線定理的運(yùn)用，屬于中檔題．