Question

5．各棱長都等于4的四面ABCD中，設G為BC的中點，E為△ACD內的動點（含邊界），且GE∥平面ABD，若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=1，則|$\overrightarrow{AE}$|=$\frac{\sqrt{21}}{2}$．

Answer 1

分析 連接CE，并延長交AD于F，連接BF，運用線面平行的性質定理可得EG∥BF，由G為BC的中點，可得E為CF的中點，設AF=t，再由向量的中點的向量表示，結合向量的數(shù)量積的性質，解得t=1，再由向量的模的公式，計算即可得到所求值．

解答 解：連接CE，并延長交AD于F，連接BF，
由EG∥平面ABD，EG?平面BCF，平面BCF∩平面ABD=BF，
可得EG∥BF，由G為BC的中點，可得E為CF的中點，
設AF=t，則$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AF}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\frac{t}{4}$$\overrightarrow{AD}$），
在四面體ABCD中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=4×4×$\frac{1}{2}$=8，
$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\frac{t}{4}$$\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{t}{4}$$\overrightarrow{AD}$²-$\frac{t}{4}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{2}$（8-8+$\frac{t}{4}$•16-$\frac{t}{4}$•8）=1，
解得t=1，即$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AD}$），
可得|$\overrightarrow{AE}$|²=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AC}$²+$\frac{1}{16}$$\overrightarrow{AD}$²+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$）
=$\frac{1}{4}$×（16+$\frac{1}{16}$×16+$\frac{1}{2}$×8）=$\frac{21}{4}$，
可得|$\overrightarrow{AE}$|=$\frac{\sqrt{21}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{21}}{2}$．

點評 本題考查向量的模的求法，注意運用中點的向量的表示，考查向量的數(shù)量積的定義和性質，同時考查線面平行的性質定理的運用以及中位線定理的運用，屬于中檔題．