Question

15．在四棱錐P-ABCE中，PA⊥底面ABCE，CD⊥AE，AC平分∠BAD，G為PC的中點，PA=AD=2，BC=DE，AB=3，CD=2$\sqrt{3}$，F(xiàn)，M分別為BC，EG上一點，且AF∥CD．
（1）求$\frac{ME}{MG}$的值，使得CM∥平面AFG；
（2）求直線CE與平面AFG所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出∠CAD=60°，∠BAC=60°，由余弦定理得BC=$\sqrt{13}$，從而DE=$\sqrt{13}$，進而得到當$\frac{ME}{MG}=\frac{DE}{DA}=\frac{\sqrt{13}}{2}$時，AG∥DM，平面CDM∥平面AFG，CM∥平面AFG．
（2）分別以DA，AF，AP為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線CE與平面AFG所成角的正弦值．

解答 解：（1）在Rt△ADC中，∠ADC為直角，
tan$∠CAD=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，則∠CAD=60°，
又AC平分∠BAD，∴∠BAC=60°，
∵AB=3，AC=4，∴由余弦定理得BC=$\sqrt{13}$，∴DE=$\sqrt{13}$，
當$\frac{ME}{MG}=\frac{DE}{DA}=\frac{\sqrt{13}}{2}$時，AG∥DM，
又AF∥CD，AF∩AG=A，∴平面CDM∥平面AFG，
∴CM?平面CDM，∴CM∥平面AFG．
（2）分別以DA，AF，AP為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示，
則A（0，0，0），C（-2，2$\sqrt{3}$，0），D（-2，0，0），G（-1，$\sqrt{3}$，1），E（-2-$\sqrt{13}$，0，0），
$\overrightarrow{AG}$=（-1，$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{CD}$=（0，-2$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{CE}$=（-$\sqrt{13}$，-2$\sqrt{3}$，0），
設(shè)平面AFG的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵AF∥CD，∴$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y+z=0}\\{-2\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
設(shè)直線CE與平面AFG所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{25}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{26}}{10}$，
∴直線CE與平面AFG所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{26}}{10}$．

點評 本題考查滿足線面平行的線段比值的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．