15．已知復數(shù)z1=$\frac{-3+9i}{1+2i}$的虛部大于復數(shù)z2=i（2-a2i）的實部．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求|z2|的取值范圍．

分析 （1）利用復數(shù)的化數(shù)形式的乘除運算法則求解，
（2）根據(jù)模的定義和a的范圍即可求出答案．

解答 解：（1）z1=$\frac{-3+9i}{1+2i}$=$\frac{（-3+9i）（1-2i）}{（1+2i）（1-2i）}$=$\frac{15+15i}{5}$=3+3i，z2=i（2-a2i）=a2+2i，
∴3＞a2，
解的-$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{3}$，
（2）∵a2＜3
∴|z2|=$\sqrt{{a}^{4}+4}$＜$\sqrt{13}$，且|z2|=$\sqrt{{a}^{4}+4}$≥2，
故|z2|的取值范圍為[2，$\sqrt{13}$）

點評 本題考查了復數(shù)的運算法則和復數(shù)的定義，以及復數(shù)的模，屬于基礎題．

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11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+k}{{e}^{x}}$（其中k∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)），f′（x）為f（x）導函數(shù)．
（Ⅰ）若x∈（0，1]時，f′（x）=0都有解，求k的取值范圍；
（Ⅱ）若f′（1）=0，試證明：對任意x＞0，f′（x）＜$\frac{{e}^{-2}+1}{{x}^{2}+x}$恒成立．

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12．已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=$\frac{{n}^{2}{a}_{n}}{{n}^{2}+1}$（n∈N+）．
（1）證明：an+1＜an；
（2）證明：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}+…+\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}≤n+2-\frac{1}{n}$；
（3）證明：an$＞\frac{1}{4}$．

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