Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是CC₁的中點(diǎn)；
（1）求異面直線DM與BD₁所成角的余弦值；
（2）求二面角C₁-BD₁-C的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間角

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系．給出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出

BD1

=（-1，-1，1），

DM

=（0，1，

1

2

），利用向量的夾角公式，即可得到DM與BD₁所成角的余弦值；
（2）求出平面BCD₁、平面BC₁D₁的法向量，利用向量的夾角公式，即可求C₁-BD₁-C的大�。�

解答： 解：（1）以D為原點(diǎn)，DC所在的直線為y軸，DA所在的直線為x軸，DD₁所在的直線 為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)棱長(zhǎng)為1，則B（1，1 0），D₁（0，0，1），D（0，0，0），M（0，1，

1

2

）．

BD1

=（-1，-1，1），

DM

=（0，1，

1

2

）．
∴cos＜

BD1

，

DM

＞=

-1+ 1 2

3 • 1+ 1 4

=-

15

15

．
故異面直線DM與BD₁所成角的余弦值是

15

15

．
（2）C₁（0，1，1），C（0，1，0），
∴

BC

=（-1，0，0），

BD1

=（-1，-1，1），
設(shè)平面BCD₁的法向量為

n

=（x，y，z），則

-x=0 -x-y+z=0

，∴取

n

=（0，1，1）；
同理平面BC₁D₁的法向量為

m

=（1，0，-1），
∴cos＜

n

，

m

＞=-

1

2

，
∴＜

n

，

m

＞=120°，
∴二面角C₁-BD₁-C的大小為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線DM與BD₁所成角，考查二面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查向量法的運(yùn)用，確定平面的法向量是關(guān)鍵．