Question

4．（1）已知函數(shù)f（x）滿足2f（x）+f（-x）=3x+4，求f（x）的解析式；
（2）已知f（x）是二次函數(shù)，且f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用方程思想求解函數(shù)的解析式即可．
（2）由題意設f（x）=ax²+bx+c，a≠0，代入已知式子比較系數(shù)可得a、b、c的方程組，解方程組可得函數(shù)解析式．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）對任意的x∈R都滿足2f（x）+f（-x）=3x+4，…①，
則2f（-x）+f（x）=-3x+4，…②，
①×2-②可得：3f（x）=9x+4，
可得f（x）=3x+$\frac{4}{3}$．
（2）由題意設f（x）=ax²+bx+c，a≠0，
則f（x+1）+f（x-1）=a（x+1）²+b（x+1）+c+a（x-1）²+b（x-1）+c
=2ax²+2bx+2a+2c=2x²-4x，
∴2a=2，2b=-4，2a+2c=0，
解得a=1，b=-2，c=-1，
∴f（x）解析式為：f（x）=x²-2x-1．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，涉及待定系數(shù)法，考查函數(shù)與方程的思想的應用，考查計算能力．