Question

2．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=x²，當(dāng)x＞0時，f（x+1）=f（x）+f（1），若直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有7個不同的公共點，則實數(shù)k的取值范圍為（2$\sqrt{2}$-1，2$\sqrt{6}$-4）．

Answer 1

分析 本題通過奇函數(shù)特征得到函數(shù)圖象經(jīng)過原點，且關(guān)于原點對稱，利用f（x+1）=f（x）+f（1）得到函數(shù)類似周期性特征，從而可以畫出函數(shù)的草圖，再利用兩個臨界狀態(tài)的研究，得到k的取值范圍

解答 解：∵當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=x²，
∴f（1）=1．
∵當(dāng)x＞0時，f（x+1）=f（x）+f（1），
∴f（x+1）=f（x）+1，
∴當(dāng)x∈[n，n+1]，n∈N^*時，
f（x+1）=f（x-1）+2=f（x-2）+3=…=f（x-n）+n+1=（x-n）²+n，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)圖象經(jīng)過原點，且關(guān)于原點對稱．
∵直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有7個不同的公共點，
∴當(dāng)x＞0時，直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有3個不同的公共點，
∴由x＞0時f（x）的圖象可知：
直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象相切位置在x∈[1，2]時，直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有5個不同的公共點，
直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象相切位置在x∈[2，3]時，直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有9個不同的公共點，
∴直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象位置情況介于上述兩種情況之間．
∵當(dāng)x∈[1，2]時，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=（x-1）^{2}+1}\end{array}\right.$得：k=2$\sqrt{2}$-2
x²-（k+2）x+2=0，
令△=0，得：k=2$\sqrt{2}$-2．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=（x-2）^{2}+2}\end{array}\right.$得：
x²-（k+4）x+6=0，
令△=0，得：k=2$\sqrt{6}$-4．
∴k的取值范圍為（2$\sqrt{2}$-1，2$\sqrt{6}$-4）．
故答案為：（2$\sqrt{2}$-2，2$\sqrt{6}$-4）．

點評 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查函數(shù)的對稱性、周期性、奇偶性的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與作圖能力，屬于難題．