Question

6．某中學有初中學生1800人，高中學生1200人．為了解學生本學期課外閱讀時間，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，先統(tǒng)計了他們課外閱讀時間，然后按“初中學生”和“高中學生”分為兩組，再將每組學生的閱讀時間（單位：小時）分為5組：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）寫出a的值；
（Ⅱ）試估計該校所有學生中，閱讀時間不小于30個小時的學生人數(shù)；
（Ⅲ）從閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1，能求出a的值．
（Ⅱ）由分層抽樣，知抽取的初中生有60名，高中生有40名，從而求出所有的初中生中，閱讀時間不小于30個小時的學生約有450人，高中生中，閱讀時間不小于30個小時的學生人數(shù)約有420人．由此能求出該校所有學生中，閱讀時間不小于30個小時的學生人數(shù)約有多少人．
（Ⅲ）記“從閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取2人，至少抽到1名高中生”為事件A，利用列舉法能求出至少抽到1名高中生的概率．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得（0.005+0.020+a+0.040）×10=1，
∴a=0.03．…（3分）
（Ⅱ）由分層抽樣，知抽取的初中生有60名，高中生有40名．…（4分）
∵初中生中，閱讀時間不小于30個小時的學生頻率為（0.02+0.005）×10=0.25，
∴所有的初中生中，閱讀時間不小于30個小時的學生約有0.25×1800=450人，…（6分）
同理，高中生中，閱讀時間不小于30個小時的學生頻率為（0.03+0.005）×10=0.35，
學生人數(shù)約有0.35×1200=420人．
∴該校所有學生中，閱讀時間不小于30個小時的學生人數(shù)約有450+420=870人．…（8分）
（Ⅲ）記“從閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取2人，至少抽到1名高中生”為事件A，…（9分）
初中生中，閱讀時間不足10個小時的學生頻率為0.005×10=0.05，樣本人數(shù)為0.05×60=3人．
高中生中，閱讀時間不足10個小時的學生頻率為0.005×10=0.05，樣本人數(shù)為0.05×40=2人．…（10分）
記這3名初中生為A₁，A₂，A₃，這2名高中生為B₁，B₂，
則從閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取2人，所有可能結(jié)果有10種，
即：（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），
而事件A的結(jié)果有7種，它們是：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），
∴至少抽到1名高中生的概率P（A）=$\frac{7}{10}$．…（13分）

點評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．