Question

17．設x，y均為正數(shù)，且x＞y，求證：x+$\frac{4}{{x}^{2}-2xy+{y}^{2}}$≥y+3．

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式的性質證明即可．

解答 證明：x-y+$\frac{4}{x2-2xy+y2}$=（x-y）+$\frac{4}{（x-y）2}$（3分）
=$\frac{x-y}{2}$+$\frac{x-y}{2}$+$\frac{4}{（x-y）2}$，（5分）
因為x＞y，x-y＞0，
所以$\frac{x-y}{2}$+$\frac{x-y}{2}$+$\frac{4}{（x-y）2}$≥3$\root{3}{\frac{x-y}{2}•\frac{x-y}{2}•\frac{4}{{（x-y）}^{2}}}$=3，
當且僅當$\frac{x-y}{2}$=$\frac{x-y}{2}$=$\frac{4}{（x-y）2}$取等號，
此時x-y=2．（10分）

點評 考查對于不等式：a+b+c≥3$\root{3}{abc}$的運用，是一道基礎題．