Question

12．若a＞b＞0，證明：a²+$\frac{1}{（a-b）b}$≥4．

Answer 1

分析 兩次利用基本不等式，即可證出結論．

解答 證明：∵a＞b＞0，∴a-b＞0，
∴（a-b）b≤（ $\frac{a-b+b}{2}$）²=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
當且僅當a-b=b，即a=2b時“=”成立；
∴a²+$\frac{1}{（a-b）b}$≥a²+$\frac{1}{\frac{{a}^{2}}{4}}$=a²+$\frac{4}{{a}^{2}}$≥2$\sqrt{{a}^{2}•\frac{4}{{a}^{2}}}$=4，
當且僅當a²=2，即a=$\sqrt{2}$時“=”成立；
此時a=$\sqrt{2}$，b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²+$\frac{1}{（a-b）b}$取得最小值是4，
即a²+$\frac{1}{（a-b）b}$≥4．

點評 本題考查了基本不等式的性質與應用問題，利用條件進行構造是解答本題的關鍵．