Question

1．等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，將斜邊AC繞直角邊AB旋轉(zhuǎn)90°后得到旋轉(zhuǎn)體A-BCD，如圖所示，求：
（1）若E是CD的中點(diǎn)，求直線AE與面BCD所成的角；
（2）求異面直線AC和BD所成的角；（3）求旋轉(zhuǎn)體A-BCD的體積V₁和三棱錐A-BCD的體積V₂之比．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BE，則∠AEB為直線AE與面BCD所成的角．
（2）由BD⊥BC，BD⊥AB可推出BD⊥平面ABC，故BD⊥AC．
（3）分別求出兩個幾何體的體積．

解答 解：（1）連結(jié)BE，∵AB⊥BC，AB⊥BD，BC∩BD=B，BC?平面BCD，BD?平面BCD，
∴AB⊥平面BCD，∴∠AEB為直線AE與面BCD所成的角．
∵∠DBC=90°，∴CD=$\sqrt{2}$BC=2$\sqrt{2}$，∴BE=$\frac{1}{2}CD$=$\sqrt{2}$．∴tan∠AEB=$\frac{AB}{BE}$=$\sqrt{2}$．∴∠AEB=arctan$\sqrt{2}$．
（2）∵BD⊥BC，BD⊥AB，BC∩AB=B，BC?平面ABC，AB?平面ABC，
∴BD⊥平面ABC，∵AC?平面ABC，
∴BD⊥AC．∴異面直線AC和BD所成的角為90°．
（3）V₁=$\frac{1}{3}$S_扇形BCD•AB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×π×{2}^{2}×2$=$\frac{2π}{3}$．V₂=$\frac{1}{3}$S_△BCD•AB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$．
∴$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，線面角，體積計算，正確找到線面角解題關(guān)鍵．