Question

17．（1）求過點(diǎn)A（3，2）且垂直于直線4x+5y-8=0的直線方程．
（2）求過三點(diǎn)A（0，0）、B（1，1）、C（4，2）圓的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩直線垂直，斜率之積等于-1，設(shè)過點(diǎn)P與l垂直的直線方程是4y-5x+n=0，=0，把點(diǎn)P（3，2）代入可解得n值，從而得到所求的直線方程．
（2）根據(jù)垂徑定理可知圓心在圓中弦的垂直平分線上，所以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式分別找出弦OM₁和OM₂的中點(diǎn)坐標(biāo)和各自的斜率，然后根據(jù)兩直線垂直時斜率乘積為-1找出弦OM₁和OM₂的垂直平分線的斜率，即可寫出兩垂直平分線的方程，然后聯(lián)立兩直線方程求出兩垂直平分線的交點(diǎn)坐標(biāo)即為圓心的坐標(biāo)，再然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心到O點(diǎn)的距離即為圓的半徑．

解答 解：（1）設(shè)過點(diǎn)P與l垂直的直線方程是 4y-5x+n=0，
把點(diǎn)P（3，2）代入可解得n=7，
故所求的直線方程是4y-5x+7=0，即5x-4y-7=0；
（2）AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），直線AB的斜率為1，所以垂直平分線的斜率為-1
則線段AB的垂直平分線方程為y-$\frac{1}{2}$=-（x-$\frac{1}{2}$）化簡得x+y-1=0①；
同理得到AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），直線AC的斜率為$\frac{1}{2}$，所以垂直平分線的斜率為-2
則線段AC的垂直平分線方程為y-1=-2（x-2）化簡得2x+y-5=0②．
聯(lián)立①②解得x=4，y=-3，則圓心坐標(biāo)為（4，-3），圓的半徑r=5
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-4）²+（y+3）²=25．

點(diǎn)評 本題考查根據(jù)兩直線平行和垂直的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求直線方程的方法．考查學(xué)生會利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，掌握兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，會根據(jù)一點(diǎn)和斜率寫出直線的方程，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡求值，會根據(jù)圓心坐標(biāo)與半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道中檔題．