Question

8．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S₁＞1，且$6{S_n}=a_n^2+3{a_n}+2$（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足${b_n}=\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}，n為偶數(shù)}\\{{2^{a_n}}，n為奇數(shù)}\end{array}}\right.$，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n；
（3）設(shè)${C_n}=\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}，（n為正整數(shù)）$，問是否存在正整數(shù)N，使得當(dāng)任意正整數(shù)n＞N時(shí)恒有C_n＞2015成立？若存在，請求出正整數(shù)N的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）n=1時(shí)，可解得a₁=2，n≥2時(shí)，化簡可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，從而可得a_n-a_n-1=3，從而求通項(xiàng)公式；
（2）化簡${b_n}=\left\{{\begin{array}{l}{3n-1，n為偶數(shù)}\\{{2^{3n-1}}，n為奇數(shù)}\end{array}}\right.$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，從而分n為偶數(shù)還是奇數(shù)討論，從而求得；
（3）化簡${C_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{{2^{{a_{n+1}}}}}}{a_n}=\frac{{{2^{3n+2}}}}{3n-1}，n為偶數(shù)}\\{\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{a_n}}}}=\frac{3n+2}{{{2^{3n-1}}}}，n為奇數(shù)}\end{array}}\right.$，從而可判斷當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，C_n+2＜C_n，從而判斷．

解答 解：（1）n=1時(shí)，$6{a_1}={a_1}^2+3{a_1}+2$，且a₁＞1，
解得a₁=2，
n≥2時(shí)，$6{S_n}={a_n}^2+3{a_n}+2$，$6{S_{n-1}}={a_{n-1}}^2+3{a_{n-1}}+2$，
兩式相減得：$6{a_n}={a_n}^2-{a_{n-1}}^2+3{a_n}-3{a_{n-1}}$，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=3，
∴{a_n}為等差數(shù)列，a_n=3n-1．
（2）${b_n}=\left\{{\begin{array}{l}{3n-1，n為偶數(shù)}\\{{2^{3n-1}}，n為奇數(shù)}\end{array}}\right.$，T_n=b₁+b₂+…+b_n．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T_n=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=$\frac{{4（1-{8^n}）}}{1-64}+\frac{{\frac{n}{2}（5+3n-1）}}{2}=\frac{4}{63}（{8^n}-1）+\frac{n（3n+4）}{4}$，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，T_n=（b₁+b₃+…+b_n）+（b₂+b₄+…+b_n-1）
=$\frac{{4（1-{8^{n+1}}）}}{1-64}+\frac{{\frac{n-1}{2}（5+3n-4）}}{2}=\frac{4}{63}（{8^{n+1}}-1）+\frac{（n-1）（3n+1）}{4}$．
∴${T_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{63}（{8^n}-1）+\frac{n（3n+4）}{4}，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n為偶數(shù)}\\{\frac{4}{63}（{8^{n+1}}-1）+\frac{（n-1）（3n+1）}{4}，n為奇數(shù)}\end{array}}\right.$；
（3）${C_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{{2^{{a_{n+1}}}}}}{a_n}=\frac{{{2^{3n+2}}}}{3n-1}，n為偶數(shù)}\\{\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{a_n}}}}=\frac{3n+2}{{{2^{3n-1}}}}，n為奇數(shù)}\end{array}}\right.$，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
${C_{n+2}}-{C_n}=\frac{3n+8}{{{2^{3n+5}}}}-\frac{3n+2}{{{2^{3n-1}}}}=\frac{1}{{{2^{3n+5}}}}[3n+8-64（3n+2）]＜0$，
∴C_n+2＜C_n，
故{C_n}遞減，${C_n}≤{C_1}=\frac{5}{4}＜2015$，
因此不存在滿足條件的正整數(shù)N．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用及計(jì)算，考查了分類討論的思想應(yīng)用及分組求和的應(yīng)用．