Question

7．經(jīng)過直線2x-y+3=0與圓x²+y²+2x-4y+1=0的兩個交點，且面積最小的圓的方程是5x²+5y²+6x-18y-1=0．

Answer 1

分析 題意可知，弦長為直徑的圓的面積最小．求出半弦長，就是最小的圓的半徑，求解即可．

解答 解：∵圓x²+y²+2x-4y+1=0的方程可化為（x+1）²+（y-2）²=4．
∴圓心坐標為（-1，2），半徑為r=2；
∴圓心到直線2x-y+3=0的距離為d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$．
設直線2x-y+3=0和圓x²+y²+2x-4y+1=0的交點為A，B．則|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-rjqizl1^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{1}{5}}$=$\frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{5}}$．
∴過點A，B的最小圓半徑為$\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{5}}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}2x-y+3=0\\{x}^{2}+{y}^{2}+2x-4y+1=0\end{array}\right.$得5x²+6x-2=0，
故${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{6}{5}$，則圓心的橫坐標為：$\frac{1}{2}$$（{x}_{1}+{x}_{2}）=-\frac{3}{5}$，縱坐標為2×（-$\frac{3}{5}$）+3=$\frac{9}{5}$，
∴最小圓的圓心為（$-\frac{3}{5}$，$\frac{9}{5}$），
∴最小圓的方程為（x+$\frac{3}{5}$）²+（y-$\frac{9}{5}$）²=$\frac{19}{5}$．
即5x²+5y²+6x-18y-1=0．
故答案為：5x²+5y²+6x-18y-1=0

點評 本題考查的知識點是直線與圓的位置關系，圓的面積最小就是圓的半徑最小，求出圓心坐標，求出半徑即可求出圓的方程，是這一類問題的基本方法．