Question

16．四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BD，DC的中點(diǎn)，AE=DC=3，BC=2，BD=4．
（1）試求$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{BC}$表示$\overline{AF}$；
（2）求$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AD}$²的值；
（3）求$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合共線向量基本定理得答案；
（2）由已知結(jié)合向量加法、減法的運(yùn)算法則求解；
（3）由向量加法、減法及向量的數(shù)量積運(yùn)算得答案．

解答 解：（1）∵E，F(xiàn)分別為BD，DC的中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，則$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$；
（2）${\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AD}}^{2}=（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}）^{2}+（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}）^{2}$
=$（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}）^{2}+（\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{EB}）^{2}=2{\overrightarrow{AE}}^{2}+2{\overrightarrow{EB}}^{2}=2×{3}^{2}+2×{2}^{2}=26$；
（3）$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}=（\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FC}）•（\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{FC}）={\overrightarrow{AF}}^{2}-{\overrightarrow{FC}}^{2}$=${\overrightarrow{AF}}^{2}-\frac{9}{4}$，
∵${\overrightarrow{AF}}^{2}=（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}）^{2}={\overrightarrow{AE}}^{2}+{\overrightarrow{EF}}^{2}+2\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{EF}$
=10-6cos∠AEF．
∴當(dāng)∠AEF=π時(shí)，${\overrightarrow{AF}}^{2}$取得最大值16．
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}$的最大值為$\frac{55}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量加法與減法的三角形法則，是中檔題．