Question

6．對于任意兩個非零向量$\overrightarrow{α}$和$\overrightarrow{β}$，定義$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{β}}$，若兩個非零的平面向量$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{β}$滿足|$\overrightarrow{α}$|≥|$\overrightarrow{β}$|，其夾角θ∈（0，$\frac{π}{4}$），且$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$和$\overrightarrow{β}$?$\overrightarrow{α}$都在集合$\left\{{\frac{n}{2}|n∈Z}\right\}$中，則$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題中的定義，化簡整理得$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{n}{2}$，$\overrightarrow{β}$?$\overrightarrow{α}$=$\frac{m}{2}$，其中m、n都是整數(shù)，兩式相乘可得cos²θ夾角的范圍，討論可得m，n，從而得出答案．

解答 解：由題意，可得$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{β}}$=$\frac{|\overrightarrow{α}|•|\overrightarrow{β}|cosθ}{|\overrightarrow{β}{|}^{2}}$=$\frac{|\overrightarrow{α}|cosθ}{|\overrightarrow{β}|}$=$\frac{n}{2}$，
同理可得$\overrightarrow{β}$?$\overrightarrow{α}$=$\frac{|\overrightarrow{β}|cosθ}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{m}{2}$，其中m、n都是整數(shù)，
將化簡的兩式相乘，可得cos²θ=$\frac{mn}{4}$，
∵|$\overrightarrow{α}$|≥|$\overrightarrow{β}$|，
∴n≥m 且m、n∈Z，
∵$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{β}$的夾角θ∈（0，$\frac{π}{4}$），可得cos²θ∈（$\frac{1}{2}$，1），
即$\frac{mn}{4}$∈（$\frac{1}{2}$，1），結(jié)合m、n均為整數(shù)，可得m=1且n=3，
從而得$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{n}{2}$=$\frac{3}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題給出新定義，求式子 $\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$的值．著重考查了向量數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)和整數(shù)解的討論等知識，屬于中檔題．