Question

13．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2，∠ABC=120°，D為AC的中點，P為棱A₁B上的動點．
（1）探究：AP能否與平面A₁BC垂直？
（2）若AA₁=$\sqrt{6}$，求二面角A₁-BD-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)AP能與平面A₁BC垂直，則AP⊥BC，由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，可得BC⊥平面AA₁B，因此BC⊥AB，與已知∠ABC=120°矛盾，即可判斷出結(jié)論；
（2）設(shè)點E是A₁C₁的中點，分別以DB，DC，DE所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D-xyz．設(shè)平面A₁BD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=-\sqrt{3}y+\sqrt{6}z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$，取平面BDB₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）．利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$即可得出．

解答 解：（1）假設(shè)AP能與平面A₁BC垂直，則AP⊥BC，
由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，又AA₁∩AP=A，可得BC⊥平面AA₁B，
∴BC⊥AB，與已知∠ABC=120°矛盾，
因此假設(shè)不成立，
故P在棱A₁B上的什么位置：不可能有AP⊥平面A₁BC垂直．
（2）設(shè)點E是A₁C₁的中點，分別以DB，DC，DE所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D-xyz．
則D（0，0，0），B（1，0，0），A（0，-$\sqrt{3}$，0），A₁$（0，-\sqrt{3}，\sqrt{6}）$．
$\overrightarrow{DB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=$（0，-\sqrt{3}，\sqrt{6}）$，
設(shè)平面A₁BD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=-\sqrt{3}y+\sqrt{6}z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=$（0，\sqrt{2}，1）$，
取平面BDB₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、二面角的計算公式、反證法，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．