在橢圓中,稱過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓所截得的弦為橢圓的“通徑”.已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,其離心率為
1
2
,通徑長(zhǎng)為3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖所示,過點(diǎn)F1的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn),I1、I2分別為△F1BF2、△F1AF2的內(nèi)心,延長(zhǎng)BF2與橢圓交于點(diǎn)M,求四邊形F1I2F2I1的面積與△AF2B的面積的比值;
(3)在x軸上是否存在定點(diǎn)P,使得
PM
PB
為定值?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)由題意可知:e=
c
a
=
1
2
,通徑為2
b2
a
=3
,由此能求出橢圓C的方程.
(2)由于I1、I2分別為△F1BF2、△F1AF2的內(nèi)心,根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)和等面積法,得點(diǎn)△F1BF2內(nèi)切圓的半徑r1=
SF1BF2
1
2
(F1B+F1F2+F2B)
=
SF1BF2
a+c
,點(diǎn)△F1AF2內(nèi)切圓的半徑r2=
SF1AF2
1
2
(F1B+F1F2+F2B)
=
SF1AF2
a+c
,由此能求出四邊形F1I2F2I1的面積與△AF2B的面積的比值.
(3)若存在點(diǎn)P,使得
PM
PB
為定值,設(shè)點(diǎn)P(x0,0),lBM的方程為y=k(x-1),聯(lián)立
x2
4
+
y2
3
=1
y=k(x-1)
,得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出
PM
PB
為定值-
135
64
解答: 解:(1)由題意可知:e=
c
a
=
1
2
,通徑為2
b2
a
=3
,
解得:a=2,b=
3

故橢圓C的方程為:
x2
4
+
y2
3
=1
.(3分)
(2)由于I1、I2分別為△F1BF2、△F1AF2的內(nèi)心,
根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)和等面積法可知:
點(diǎn)△F1BF2內(nèi)切圓的半徑r1=
SF1BF2
1
2
(F1B+F1F2+F2B)
=
SF1BF2
a+c
,
同理可得:點(diǎn)△F1AF2內(nèi)切圓的半徑:
r2=
SF1AF2
1
2
(F1B+F1F2+F2B)
=
SF1AF2
a+c
,(5分)
∴四邊形F1I2F2I1的面積與△AF2B的面積的比值:
SF1I2F1I1
S△AF1B
=
SF1I1F2+SF1I2F2
SF1BE+SF1AF2

=
1
2
(r1+r2)•2c
SF1BF1+SF1AF2
=
c
a+c
=
1
3

(3)若存在點(diǎn)P,使得
PM
,
PB
為定值,設(shè)點(diǎn)P(x0,0),
若直線BM的斜率不存在,lBM的方程為:x=1,B(1,
3
2
),M(1,-
3
2
),
PM
PB
=(x0-1)2-
9
4
,
若直線BM的斜率存在,lBM的方程為y=k(x-1),
點(diǎn)B(x1,y1),點(diǎn)M(x2,y2),
聯(lián)立
x2
4
+
y2
3
=1
y=k(x-1)
,得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
根據(jù)韋達(dá)定理可得:x1+x2=
8k2
4k2+3
,x1x2=
4k2-12
4k2+3
,
由于
PM
=(x2-x0,y2)
,
PB
=(x1-x0,y1)

PM
PB
=x1x2-(x1+x2)x0+
x
2
0
+y1y2=(k2+1)x1x2-(x0+k2)(x1+x2)+k2+
x
2
0
,
整理可得:
(4
x
2
0
-8x0-5)k2+3
x
2
0
-12
4k2+3
(λ為常數(shù)),(10分)
(4
x
2
0
-8x0-5-4λ)k2+3
x
2
0
-12-3λ=0
對(duì)?k∈R恒成立,
4x02-8x0-5-4λ=0
3x02-12-3λ=0
,解得
x0=
11
8
λ=-
135
64
,(12分)
經(jīng)驗(yàn)證直線BM的斜率不存在時(shí),
PM
PB
=(x0-1)2-
9
4
=-
135
64
,
∴存在點(diǎn)P(
11
8
,0),使得
PM
PB
=(x0-1 2-
9
4
=-
135
64
,
∴存在點(diǎn)P(
11
8
,0),使得
PM
PB
為定值-
135
64
.(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓方程的求法,考查四邊形與三角形面積比值的求法,考查向量的數(shù)量積為定值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)tan405°-sin450°+cos750°+sin240°
(2)計(jì)算
lg5•lg8000+(lg2
3
)
2
lg600-
1
2
lg36-
1
2
lg0.01

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)橢圓E:
x2
a2
+
y2
1-a2
=1的焦點(diǎn)在x軸上,若橢圓E的焦距為1,求橢圓E的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知Rt△ABC中(如圖1),AB⊥AC,AB=4,∠ACB=30°,AD⊥BC,沿AD折疊,使得折疊后∠BDC=90°,如圖2所示.
(1)求證:AD⊥平面BDC
(2)求三棱錐A-BDC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

全集U=R,集合A={x|-1≤x<3},B={x|2<x≤5},
求:(1)A∩B;(2)A∪B;(3)(∁UA)∩B.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)=loga(x+
a
x
-4)(a>0,且a≠1)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|<
π
2

(1)若cos
π
4
cosφ-sin
4
sinφ=0,求φ的值;
(2)在(1)的條件下,若函數(shù)f(x)的圖象與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離等于
π
3
,求函數(shù)f(x)的解析式;
(3)在(2)的條件下,若方程2f(x)-1=0在區(qū)間[a,b]上有三個(gè)實(shí)數(shù)根,求b-a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)全集U=R,A={x|2<x<6},B={x|3x-7≥8-2x},C={x|a-2<x<2a},求:
(1)(∁UA)∩B;
(2)若A∪C=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)=
x
ax+b
(a≠0),f(2)=1,又方程f(x)=x有唯一解,則f(x)=
 

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