已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
3
2
,左右焦點(diǎn)分別為F1、F2,拋物線y2=4
3
x的焦點(diǎn)F恰好是該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).
(1)求橢圓方程;
(2)過橢圓的左頂點(diǎn)A作兩條弦AM、AN分別交橢圓于M、N兩點(diǎn),滿足
AM
AN
=0,當(dāng)點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線MN是否經(jīng)過x軸上的一定點(diǎn),若過定點(diǎn),請(qǐng)給出證明,并求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)拋物線y2=4
3
x的焦點(diǎn)F(
3
,0),可得c=
3
;利用e=
3
2
,可得a,從而可求b,即可求出橢圓方程;
(2)對(duì)于是否過x軸上的一定點(diǎn)問題,可先假設(shè)存在,設(shè)直線AM的斜率為k,則AM:y=k(x+2),將直線的方程代入橢圓的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo),從而解決問題.
解答: 解:(1)拋物線y2=4
3
x的焦點(diǎn)F(
3
,0),∴c=
3

∵e=
3
2
,∴a=2,
∴b=1,
∴橢圓方程為
x2
4
+y2=1
;
(2)設(shè)直線AM的斜率為k,則AM:y=k(x+2),
與橢圓方程聯(lián)立,化簡(jiǎn)得:(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.
∵此方程有一根為-2,∴xM=
2-8k2
1+4k2
,yM=
4k
4k2+1

同理可得xN=
2k2-8
k2+4
,yN=-
4k
k2+4

∴kMN=
5k
4(1-k2)

∴直線MN:y-
4k
4k2+1
=
5k
4(1-k2)
(x-
2-8k2
1+4k2

令y=0,可得x=-
6
5

∴直線MN過x軸上的一定點(diǎn)(-
6
5
,0).
點(diǎn)評(píng):本題考查直接法求軌跡方程、直線與拋物線的位置關(guān)系、直線過定點(diǎn)問題.考查推理能力和運(yùn)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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若x+yi=1+2xi(x,y∈R),則x-y等于(  )
A、0B、-1C、1D、2

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已知函數(shù)f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的增區(qū)間;
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.

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已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)將長軸分成2:1的兩個(gè)部分,且經(jīng)過點(diǎn)(-3
2
,4),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓E的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1,離心率e=
2
3
,一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,
5
),以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心的圓C與直線3x-4y+4=0相切.
(1)求圓C的方程;
(2)過點(diǎn)Q(0,-3)的直線m與圓C交于不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)且為x1x2+y1y2=3時(shí),求△AOB的面積.

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已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3),端點(diǎn)A在圓C:(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng).
(1)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡;
(2)過B點(diǎn)的直線L與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)A,D.當(dāng)CA⊥CD時(shí),求L的斜率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cos
3x
2
,sin
3x
2
),
b
=(cos
x
2
,-sin
x
2
),且x∈[
π
2
,
2
].
(1)求
a
b
及|
a
+
b
|;
(2)求函數(shù)f(x)=
a
b
-|
a
+
b
|的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖:四棱錐P-ABCD中,PA⊥AD,AB=AC=2PA=2,PC=
5

AD∥BC,∠BAD=150°.
(Ⅰ)證明:PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求點(diǎn)B到平面PAC的距離.

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某旅游景點(diǎn)預(yù)計(jì)2013年1月份起第x月的旅游人數(shù)p(x)(單位:萬人)與x的關(guān)系近似地滿足p(x)=-3x2+40x(x∈N*,1≤x≤12),已知第x月的人均消費(fèi)額q(x)(單位:元)與x的近似關(guān)系是q(x)=
35-2x(x∈N*,且1≤x≤6)
160
x
(x∈N*,且7≤x≤12)
,試問2013年第幾月旅游消費(fèi)總額最大,最大月旅游消費(fèi)總額為多少元?

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