Question

15．對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，則稱函數(shù)f（x）為“可等域函數(shù)”，區(qū)間A為函數(shù)f（x）的一個“可等域區(qū)間”，給出下列四個函數(shù)：
①f（x）=sin$\frac{π}{2}$x；②f（x）=2x²-1；③f（x）=|1-2^x|；④f（x）=log₂（2x-2）．
其中存在“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”為①②③．

Answer 1

分析 根據(jù)“可等域區(qū)間”的定義分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．

解答 解：①對于f（x）=sin$\frac{π}{2}$x，存在“可等域區(qū)間”，如 x∈[0，1]時，f（x）=sin$\frac{π}{2}$x∈[0，1]；
②對于函數(shù)f（x）=2x²-1，存在“可等域區(qū)間”，如 x∈[-1，1]時，f（x）=2x²-1∈[-1，1]；
③對于函數(shù)f（x）=|1-2^x|，存在“可等域區(qū)間”，如x∈[0，1]時，f（x）=|2^x-1|∈[0，1]；
④∵f（x）=log₂（2x-2）單調(diào)遞增，且函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
若存在“可等域區(qū)間”，則滿足$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（2m-2）=m}\\{lo{g}_{2}（2n-2）=n}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2m-2={2}^{m}}\\{2n-2={2}^{n}}\end{array}\right.$，
∴m，n是方程2^x-2x+2=0的兩個根，設(shè)f（x）=2^x-2x+2，f′（x）=2^xln2-2，當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）=2^x-2x+2=0不可能存在兩個解，
故f（x）=log₂（2x-2）不存在“可等域區(qū)間”．
所以其中存在“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”為①②③．
故答案為：①②③

點(diǎn)評 本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的新定義問題，根據(jù)“可等域區(qū)間”的定義，建立條件關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．