Question

9．若過拋物線x²=4y的準(zhǔn)線上一動點(diǎn)P作此拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）；點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．則以下命題：
（1）直線AB過定點(diǎn)；
（2）∠AOB為鈍角；
（3）∠APB可取60°；
（4）若△ABP的面積為$\frac{125}{16}$，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-1）或（-$\frac{3}{2}$，-1）．
其中正確的個數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 對于（1），求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，求得切線PA，PB的方程，代入P的坐標(biāo)整理，可得AB的方程，即可得到恒過定點(diǎn)；
對于（2），由PA，PB的方程，可得x₁，x₂是方程$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x₀x-1=0的兩根，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積，即可判斷；
對于（3），取AB中點(diǎn)Q，連PQ，再作AA₁⊥l于A₁，BB₁⊥l于B₁，運(yùn)用拋物線的定義和梯形的中位線定理，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，即可判斷；
對于（4），由S_△APB=$\frac{1}{2}$PA•PB，運(yùn)用勾股定理和兩點(diǎn)的距離，代入（2）中的韋達(dá)定理，計(jì)算即可得到P的坐標(biāo)．

解答 解：對于（1），y=$\frac{1}{4}$x²，導(dǎo)數(shù)y′=$\frac{1}{2}$x，切線PA的方程：y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），
由于y₁=$\frac{1}{4}$x₁²，PA過P（x₀，-1），y₁-$\frac{1}{2}$x₀x₁-1=0，
同理y₂-$\frac{1}{2}$x₀x₂-1=0，A，B坐標(biāo)都適合方程y-$\frac{1}{2}$x₀x-1=0，
過A，B的方程為y-$\frac{1}{2}$x₀x-1=0，恒過定點(diǎn)F（0，1），故（1）正確；
對于（2），y₁=$\frac{1}{4}$x₁²，PA過P（x₀，-1），即有$\frac{1}{4}$x₁²-$\frac{1}{2}$x₀x₁-1=0，同理可得$\frac{1}{4}$x₂²-$\frac{1}{2}$x₀x₂-1=0，
x₁，x₂是方程$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x₀x-1=0的兩根，即有x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-4．
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+$\frac{1}{16}$（x₁x₂）²=-4+$\frac{1}{16}$×16=-3＜0，即有∠AOB為鈍角，故（2）正確；
對于（3），取AB中點(diǎn)Q，連PQ，再作AA₁⊥l于A₁，BB₁⊥l于B₁，由（2）可知P為A₁B₁的中點(diǎn)，
由拋物線的定義可得AA₁=AF，BB₁=BF，PQ=$\frac{1}{2}$（AA₁+BB₁）=$\frac{1}{2}$（AF+BF）=$\frac{1}{2}$AB，
即有∠APB=90°，故（3）錯；
對于（4），S_△APB=$\frac{1}{2}$PA•PB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+\frac{1}{4}{{x}_{1}}^{2}}$•|x₀-x₁|•$\sqrt{1+\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}}$•|x₀-x₂|=$\frac{125}{16}$，
即為$\sqrt{1+\frac{1}{4}{{x}_{1}}^{2}+\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}+\frac{1}{16}{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$•|x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁x₂|=$\frac{125}{8}$，代入x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-4．
解得x₀=±$\frac{3}{2}$．則有點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-1）或（-$\frac{3}{2}$，-1）．故（4）正確．
故正確的個數(shù)為3．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線恒過定點(diǎn)的求法以及運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷夾角的大小，注意平面幾何的運(yùn)用，屬于中檔題和易錯題．