Question

【題目】為回饋顧客，新華都購(gòu)物商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)500位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球（球的大小、形狀一模一樣），球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.

（1）若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為40元，其余3個(gè)所標(biāo)的面值均為20元，求顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是30000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球由標(biāo)有面值為20元和40元的兩種球共同組成，或標(biāo)有面值為15元和45元的兩種球共同組成．為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡．請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說(shuō)明理由．

提示：袋中的4個(gè)球由標(biāo)有面值為a元和b元的兩種球共同組成，即袋中的4個(gè)球所標(biāo)的面值“既有a元又有b元”．

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析；期望為50；（2）應(yīng)該選擇面值設(shè)計(jì)方案“”，即標(biāo)有面值元和面值元的球各兩個(gè)

【解析】

（1）設(shè)顧客獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為，隨機(jī)變量的可能取值為,分別求出對(duì)應(yīng)概率，列出分布列并求出期望即可；（2）分析可知期望為60元，討論兩種方案：若選擇“”的面值設(shè)計(jì)，只有“”的面值組合符合期望為60元，求出方差；當(dāng)球標(biāo)有的面值為元和元時(shí)，面值設(shè)計(jì)是“”符合期望為60元，求出方差，比較兩種情況的方差，即可得出結(jié)論.

解：（1）設(shè)顧客獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為，隨機(jī)變量的可能取值為.

，，

所以的分布列如下：

所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為

（2）根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為元.

所以可先尋找使期望為60元的可能方案：

當(dāng)球標(biāo)有的面值為元和元時(shí)，

若選擇“”的面值設(shè)計(jì)，因?yàn)?/span>元是面值之和的最大值，所以期望不可能為；

若選擇“”的面值設(shè)計(jì)，因?yàn)?/span>元是面值之和的最小值，所以期望不可能為.

因此可能的面值設(shè)計(jì)是選擇“”，

設(shè)此方案中顧客所獲得獎(jiǎng)勵(lì)額為，則的可能取值為.

.

的分布列如下：

所以的期望為

的方差為

當(dāng)球標(biāo)有的面值為元和元時(shí)，同理可排除“”、“ ”的面值設(shè)計(jì)，

所以可能的面值設(shè)計(jì)是選擇“”，

設(shè)此方案中顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為，則的可能取值為.

.

的分布列如下：

所以的期望為

的方差為

因?yàn)?/span>

即兩種方案獎(jiǎng)勵(lì)額的期望都符合要求，

但面值設(shè)計(jì)方案“”的獎(jiǎng)勵(lì)額的方差要比面值設(shè)計(jì)方案“”的方差小，

所以應(yīng)該選擇面值設(shè)計(jì)方案“”，即標(biāo)有面值元和面值元的球各兩個(gè).