Question

12．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：x²+y²+4x-2y+m=0與直線x-$\sqrt{3}$y+$\sqrt{3}$-2=0相切．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C上有兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線x+2y=0對(duì)稱，且|MN|=2$\sqrt{3}$，求直線MN的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用圓心到直線的距離d=r，求出半徑，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C上有兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線x+2y=0對(duì)稱，則設(shè)方程為2x-y+c=0，利用|MN|=2$\sqrt{3}$，可得圓心到直線的距離d=$\sqrt{4-3}$=1，即可求直線MN的方程．

解答 解：（Ⅰ）圓C：x²+y²+4x-2y+m=0，可化為（x+2）²+（y-1）²=5-m，
∵圓C：x²+y²+4x-2y+m=0與直線x-$\sqrt{3}$y+$\sqrt{3}$-2=0相切，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{4}{\sqrt{1+3}}$=2=r，
∴圓C的方程為（x+2）²+（y-1）²=4；
（Ⅱ）若圓C上有兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線x+2y=0對(duì)稱，則設(shè)方程為2x-y+c=0，
∵|MN|=2$\sqrt{3}$，
∴圓心到直線的距離d=$\sqrt{4-3}$=1，
∴$\frac{|-4-1+c|}{\sqrt{5}}$=1，
∴c=5±$\sqrt{5}$，
∴直線MN的方程為2x-y+5±$\sqrt{5}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．