Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)C在橢圓M：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上，若點(diǎn)A（-a，0），B（0，$\frac{a}{3}$），且$\overrightarrow{AB}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{BC}$．
（1）求橢圓M的離心率；
（2）設(shè)橢圓M的焦距為4，P，Q是橢圓M上不同的兩點(diǎn)．線段PQ的垂直平分線為直線l，且直線l不與y軸重合．
①若點(diǎn)P（-3，0），直線l過點(diǎn)（0，-$\frac{6}{7}$），求直線l的方程；
②若直線l過點(diǎn)（0，-1），且與x軸的交點(diǎn)為D．求D點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)C（m，n），由向量共線的坐標(biāo)表示，可得C的坐標(biāo)，代入橢圓方程，可得a，b的關(guān)系，再由離心率公式計(jì)算即可得到所求值；
（2）①由題意可得c=2，a=3，b=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$，可得橢圓方程，設(shè)直線PQ的方程為y=k（x+3），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，再由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，解方程可得k，進(jìn)而得到所求直線方程；
②設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，代入橢圓方程可得，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，再由兩直線垂直的條件，求得4m=5+9k²，再由中點(diǎn)在橢圓內(nèi)，可得k的范圍，再由直線l的方程可得D的橫坐標(biāo)的范圍．

解答 解：（1）設(shè)C（m，n），由$\overrightarrow{AB}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{BC}$，
可得（a，$\frac{1}{3}$a）=$\frac{3}{2}$（m，n-$\frac{a}{3}$），
可得m=$\frac{2}{3}$a，n=$\frac{5}{9}$a，即C（$\frac{2}{3}$a，$\frac{5}{9}$a），
即有$\frac{4}{9}$+$\frac{25{a}^{2}}{81^{2}}$=1，即為b²=$\frac{5}{9}$a²，
c²=a²-b²=$\frac{4}{9}$a²，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$；
（2）①由題意可得c=2，a=3，b=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
設(shè)直線PQ的方程為y=k（x+3），
代入橢圓方程可得（5+9k²）x²+54k²x+81k²-45=0，
x₁+x₂=-$\frac{54{k}^{2}}{5+9{k}^{2}}$，PQ的中點(diǎn)H為（-$\frac{27{k}^{2}}{5+9{k}^{2}}$，$\frac{15k}{5+9{k}^{2}}$），
由題意可得直線l的斜率為$\frac{\frac{15k}{5+9{k}^{2}}+\frac{6}{7}}{-\frac{27{k}^{2}}{5+9{k}^{2}}}$=-$\frac{1}{k}$，
解得k=1或$\frac{5}{9}$，
即有直線l的方程為y=-x-$\frac{6}{7}$或y=-$\frac{9}{5}$x-$\frac{6}{7}$；
②設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，
代入橢圓方程可得，（5+9k²）x²+18kmx+9m²-45=0，
可得x₁+x₂=-$\frac{18km}{5+9{k}^{2}}$，
即有PQ的中點(diǎn)為（-$\frac{9km}{5+9{k}^{2}}$，$\frac{5m}{5+9{k}^{2}}$），
由題意可得直線l的斜率為$\frac{\frac{5m}{5+9{k}^{2}}+1}{-\frac{9km}{5+9{k}^{2}}}$=-$\frac{1}{k}$，
化簡(jiǎn)可得4m=5+9k²，中點(diǎn)坐標(biāo)即為（-$\frac{9k}{4}$，$\frac{5}{4}$），
由中點(diǎn)在橢圓內(nèi)，可得$\frac{9{k}^{2}}{16}$+$\frac{5}{16}$＜1，
解得-$\frac{\sqrt{11}}{3}$＜k＜$\frac{\sqrt{11}}{3}$，
由直線l的方程為y=-$\frac{1}{k}$x-1，
可得D的橫坐標(biāo)為-k，可得范圍是（-$\frac{\sqrt{11}}{3}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{11}}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用斜率的共線的坐標(biāo)表示和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．