Question

19．設函數f（x）=$\sqrt{ln（x+1）+2x-a}$（a∈R），若存在x₀∈[0，1]使f（f（x₀））=x₀，則a的取值范圍是[-1，2+ln2]．

Answer 1

分析 由f（f（x₀））=x₀得f^-1（x₀）=f（x₀），根據f（x）與f^-1（x）的對稱關系可得f（x₀）=x₀，于是f（x₀）∈[0，1]，分離參數得到a的范圍．

解答 解：∵f（f（x₀））=x₀，∴f^-1（x₀）=f（x₀），
∵f^-1（x）和f（x）關于直線y=x對稱，∴f（x₀）=x₀，
∵x₀∈[0，1]，∴0≤$\sqrt{ln（{x}_{0}+1）+2{x}_{0}-a}$≤1，即0≤ln（x₀+1）+2x₀-a≤1．
∴l(xiāng)n（x₀+1）+2x₀-1≤a≤ln（x₀+1）+2x₀．
∵存在x₀∈[0，1]使f（f（x₀））=x₀，
∴-1≤a≤2+ln2．
故答案為[-1，2+ln2]

點評 本題考查了反函數的性質，函數最值得計算，屬于中檔題．