Question

12．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=a_n（a_n+1），數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為T_n，現(xiàn)有如下結(jié)論：
①T_n＜T_n+1；②a_n=n；③$\frac{{T}_{2n-1}}{2n-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$；④T_2n-T_n≥$\frac{1}{2}$．
其中正確結(jié)論的序號為①②④．（填上所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

分析 分類討論可求得a_n=n；從而可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，從而可判斷①②④正確，③不正確．

解答 解：①當(dāng)n=1時，2a₁=a₁（a₁+1），
解得，a₁=0（舍去）或a₁=1；
②當(dāng)n≥2時，2S_n=a_n（a_n+1），2S_n-1=a_n-1（a_n-1+1），
即2a_n=a_n（a_n+1）-a_n-1（a_n-1+1），
即a_n（a_n+1）-a_n-1（a_n-1+1）-2a_n=0，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
故a_n-a_n-1=1，
故a_n=n；
故$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，
∵數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}都是正數(shù)，
∴T_n＜T_n+1；
故①②正確；
當(dāng)n=2時，$\frac{{T}_{2n-1}}{2n-1}$=$\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{3}$≠$\frac{1}{2}$；故③不正確；
∵T_2n-T_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$≥n•$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{2}$，
∴④正確；
故答案為：①②④．

點(diǎn)評 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及構(gòu)造法的應(yīng)用，同時考查了放縮法的應(yīng)用．