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8.在三棱錐P-ABC中,面PAB、PAC、PBC兩兩垂直,且PA=2,PB=3,PC=4
(1)求證:PA⊥BC;
(2)求點P到面ABC的距離.

分析 (1)利用同一法,證明:AP⊥平面PBC,即可證明PA⊥BC;
(2)利用等體積法,求點P到面ABC的距離.

解答 (1)證明:過A作AP′⊥PB,
∵面PAB、PBC兩兩垂直,
∴AP′⊥平面PBC,
同理過A作AP″⊥PC,則AP″⊥平面PBC,
∴AP′,AP″重合于AP,
∴AP⊥平面PBC,
∵BC?平面PBC,
∴PA⊥BC;
(2)解:由(1)可得PA,PB,PC兩兩垂直,
∵PA=2,PB=3,PC=4,∴AB=$\sqrt{13}$,BC=5,AC=$\sqrt{20}$
∴cos∠BCA=$\frac{25+20-13}{2×5×\sqrt{20}}$=$\frac{32}{20\sqrt{5}}$=$\frac{8}{5\sqrt{5}}$,
∴sin∠BCA=$\sqrt{1-\frac{64}{125}}$=$\frac{\sqrt{61}}{5\sqrt{5}}$,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}×5×\sqrt{20}$×$\frac{\sqrt{61}}{5\sqrt{5}}$=$\sqrt{61}$,
設點P到面ABC的距離為h,則由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×3×4$=$\frac{1}{3}×\sqrt{61}h$,
∴h=$\frac{12\sqrt{61}}{61}$.

點評 本題考查線面垂直的判定與性質,考查點面距離,正確求體積是關鍵.

練習冊系列答案
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