Question

16．如圖，直線l⊥平面α，垂足為O，正四面體（所有棱長都相等的三棱錐）ABCD的棱長為2，C在平面α內，B是直線l上的動點，當O到AD的距離為最大時，正四面體在平面α上的射影面積為1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 先確定直線BC與動點O的位置關系，得到最大距離是AD到球心的距離+半徑，再考慮取得最大距離時四面體的投影情況，即可求得結論．

解答 解：由題意，直線BC與動點O的位置關系是：
點O是以BC為直徑的球面上的點，
所以O到AD的距離為四面體上以BC為直徑的球面上的點到AD的距離，
最大距離為AD到球心的距離（即BC與AD的公垂線）+半徑=$\sqrt{2}$+1；
再考慮取得最大距離時四面體的投影情況，
此時AD⊥平面OBC，且AD∥平面α，
所以投影是以AD為底，O到AD 的距離投影，
即（$\sqrt{2}$+1）cos45°=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$為高的等腰三角形，
其面積為S=$\frac{1}{2}$×2×（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查了點、線、面間的距離計算問題，也考查了分析問題解答問題的能力，是綜合性題目．