Question

9．已知曲線C：f（x）=2x³-3px²．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線C在A，B兩點(diǎn)處的切線平行，求證：曲線C關(guān)于線段AB中點(diǎn)M對(duì)稱．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)p討論，分p=0，p＞0，p＜0，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由曲線C在A，B兩點(diǎn)處的切線平行，可得6x₁²-6px₁=6x₂²-6px₂，即為x₁+x₂=p，再由結(jié)論：若f（x）+f（2a-x）=2b，即有f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱，化簡(jiǎn)整理，即可得證．

解答 解：（1）f（x）=2x³-3px²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=6x²-6px=6x（x-p），
當(dāng)p=0，即f′（x）=6x²≥0，f（x）在R上遞增；
當(dāng)p＞0時(shí)，由f′（x）＞0，可得x＞p或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜p；
當(dāng)p＜0時(shí)，由f′（x）＞0，可得x＞0或x＜p；由f′（x）＜0，可得p＜x＜0．
綜上可得，p=0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為R；
p＞0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（p，+∞），（-∞，0）；減區(qū)間為（0，p）；
p＜0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），（-∞，p）；減區(qū)間為（p，0）；
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由曲線C在A，B兩點(diǎn)處的切線平行，可得
6x₁²-6px₁=6x₂²-6px₂，即為x₁+x₂=p，
AB的中點(diǎn)為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
可得$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{p}{2}$，
由y₁+y₂=2x₁³-3px₁²+2x₂³-3px₂²=2（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁x₂]-3p[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]
=2p（p²-3x₁x₂）-3p（p²-2x₁x₂）=-p³，
f（x）+f（p-x）=2x³-3px²+2（p-x）³-3p（p-x）²
=2p[x²+（p-x）²-x（p-x）]-3p[p²-2x（p-x）]
=2p[p²-3x（p-x）]-3p[p²-2x（p-x）]=-p³，
即有f（x）+f（p-x）=y₁+y₂，
即有曲線C關(guān)于點(diǎn)（$\frac{p}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）對(duì)稱，即線段AB中點(diǎn)M對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的對(duì)稱性的判斷，注意運(yùn)用結(jié)論f（x）+f（2a-x）=2b，即有f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．