Question

在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建坐標(biāo)系，已知曲線C：ρsin²θ=acosθ（a＞0），已知過點(diǎn)P（-2，-4）的直線l的參數(shù)方程為：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，直線l與曲線C分別交于M，N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）寫出曲線C和直線l的普通方程；    
（Ⅱ）若a=2，求線段|MN|的長度．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：本題（Ⅰ）利用極坐標(biāo)方程普通方程的坐標(biāo)關(guān)系式，將極坐標(biāo)方程化成普通方程，通過消參數(shù)將參數(shù)方程化成普通方程；（Ⅱ）利用曲線C的普通方程和直線l的參數(shù)方程，求出相應(yīng)的參數(shù)，利用參數(shù)差的絕對值得到MN的長度，即本題結(jié)論．

解答： 解：∵曲線C：ρsin²θ=acosθ（a＞0），
∴（ρsinθ）²=2ρcsθ．
∵

x=ρcosθ y=ρsinθ

∴y²=ax．
∵直線l的參數(shù)方程為：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數(shù)），
∴兩式相關(guān)得減到y(tǒng)=x-2．
∴曲線C和直線l的普通方程分別為 y²=ax，y=x-2．
（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程為：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數(shù)），
代入 y²=ax，得到t2-10

2

t+40=0．
則有t 1+t2=10

2

，t₁t₂=40．
∵|MN|=|t₁-t₂|，
∴|MN|²=(t1+t2)2-4t1t2=40．
解得|MN|=2

10

．
∴線段|MN|的長度為2

10

．

點(diǎn)評：本題考查的是極坐標(biāo)與參數(shù)方程的知識，計(jì)算量較大，屬于中檔題．