Question

2．（x+1）²（$\frac{1}{x}$-1）⁵的展開式中常數(shù)項為（　�。�

• A． 21
• B． 19
• C． 9
• D． -1

Answer 1

分析 本題是兩個多項式的乘法運算，要求運算結(jié)果中的常數(shù)項，注意第一個多項式的三項，要想得到常數(shù)必需是和約分以后得到常數(shù)的項相乘，寫出二項式中的三項，相乘再相加，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵（x+1）²（$\frac{1}{x}$-1）⁵=（x²+2x+1）（$\frac{1}{x}$-1）⁵，
根據(jù)二項式定理可知，（$\frac{1}{x}$-1）⁵展開式的通項公式為${C}_{5}^{r}$•（-1）^r•x^r-5，
∴（x+1）²（$\frac{1}{x}$-1）⁵的展開式中常數(shù)項由三部分構(gòu)成，
分別是（x²+2x+1）與（$\frac{1}{x}$-1）⁵展開式中各項相乘得到，
令r=3，則${C}_{5}^{3}$•（-1）³•x^-2，則1×（-${C}_{5}^{3}$）=-10；
令r=4，則${C}_{5}^{4}$•（-1）⁴•x^-1，則2×${C}_{5}^{4}$=10；
令r=5，則${C}_{5}^{5}$•（-1）⁵•x⁰，則1×（-1）=-1；
所以常數(shù)項為-10+10-1=-1．
故選：D．

點評 本題考查了求二項式展開式的常數(shù)項的應(yīng)用問題，在解題過程中應(yīng)用多項式乘以多項式的法則，是易錯題．