Question

12．以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的單位長度．設圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）上的點到直線l：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$k的距離為d．
①當k=3時，求d的最大值；
②若直線l與圓C相交，試求k的取值范圍．

Answer 1

分析 ①當k=3時，可化l的方程為x+y-6=0，由點到直線的距離公式和三角函數(shù)的最值可得；
②分別化為普通方程x²+y²=2，x+y-k=0，由直線l與圓C相交可得圓心O到直線l的距離d＜$\sqrt{2}$，解關于k的不等式可得．

解答 解：①當k=3時，l：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$，
可得l：ρcosθcos$\frac{π}{4}$+ρsinθsin$\frac{π}{4}$=3$\sqrt{2}$，
整理得l：x+y-6=0，
則d=$\frac{|\sqrt{2}cosθ+\sqrt{2}sinθ-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{4}）-6|}{\sqrt{2}}$
∴當sin（θ+$\frac{π}{4}$）=-1時，d_max=$\frac{8}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$；
②消去cosθ可將圓C的參數(shù)方程化為普通方程x²+y²=2，
直線l的極坐標方程化為普通方程x+y-k=0，
∵直線l與圓C相交，∴圓心O到直線l的距離d＜$\sqrt{2}$，
即$\frac{|-k|}{\sqrt{2}}$＜$\sqrt{2}$，解得-2＜k＜2．

點評 本題考查參數(shù)方程和極坐標方程，涉及點到直線的距離公式以及直線和圓的位置關系，屬中檔題．