Question

3．已知函數(shù)$f（x）=sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}）$的圖象經(jīng)過點(diǎn)$（{0，\frac{1}{2}}）$，且相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為$\frac{π}{2}$，則函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．

Answer 1

分析 利用函數(shù)圖象的性質(zhì)求出f（x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得出f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：∵f（x）的圖象過點(diǎn)（0，$\frac{1}{2}$），∴sinφ=$\frac{1}{2}$，∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$．
∵f（x）的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為$\frac{π}{2}$，∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]∩[0，π]=[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．
故答案為：$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．