Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（I）；（II）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的極小值.

（Ⅱ）當(dāng)，方程的，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，記為，，得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，求得函數(shù)的最小值，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，求得，由此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即可得到答案.

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

，令可得.

故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.

（Ⅱ）由

∵，方程的，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，記為，，

則，，有，故函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，有

當(dāng)時(shí)，，又函數(shù)單調(diào)遞減，

（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)為；

（3）當(dāng)時(shí)，有，

由，有

令，有，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，

由，可得不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）成立

故有當(dāng)時(shí)， ，

則此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

由上知時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn).