Question

已知函數(shù)f（x）=

1+lnx

x

（1）若函數(shù)f（x）在（a-1，a+1）（a＞1）上有極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的范圍．
（2）求證：x≥1時，x（x+1）f（x）＞

2(2x+1)

e2x

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)f（x）在（a-1，a+1）（a＞1）上有極值點(diǎn)，建立不等式，即可求實(shí)數(shù)a的范圍．
（2）設(shè)h（x）=x（x+1）f（x）-

2(2x+1)

e2x

，則h′（x）=2+

1

x

+lnx+

8x

e2x

，證明h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：∵f（x）=

1+lnx

x

，
∴f′（x）=-

lnx

x2

，
∴（0，1）上，f′（x）＞0，（1，+∞）上，f′（x）＜0，
∴函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∵函數(shù)f（x）在（a-1，a+1）（a＞1）上有極值點(diǎn)，
∴

a-1＜1 a+1＞1 a＞1

，
∴1＜a＜2；
（2）證明：設(shè)h（x）=x（x+1）f（x）-

2(2x+1)

e2x

，則h′（x）=2+

1

x

+lnx+

8x

e2x

∵x≥1，∴h′（x）＞0，
∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）≥h（1）=2-

6

e2

＞0，
∴x≥1時，x（x+1）f（x）＞

2(2x+1)

e2x

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，考查不等式的證明，正確運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．