Question

17．已知對于任意實數(shù)x，二次函數(shù)f（x）=x²-4ax+2a+12（a∈R）的值都是非負(fù)的．
（1）求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)g（a）=（a+1）（|a-1|+2）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）=x²-4ax+2a+12（a∈R）的值都是非負(fù)的，判別式小于等于0求得a的范圍，
（2）根據(jù)（1）a的范圍確定函數(shù)g（a）的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域．

解答 解（1）解：依題意可知△=16a²-4（2a+12）≤0，解得-$\frac{3}{2}$≤a≤2；
（2）當(dāng)1≤a≤2時，g（a）=（a+1）（|a-1|+2）=（a+1）²，單調(diào)增，∴g（a）∈[4，9]；
當(dāng)-$\frac{3}{2}$≤a＜1時，g（a）=（a+1）（|a-1|+2）=-（a-1）²+4，函數(shù)單調(diào)增，∴g（a）∈[-$\frac{9}{4}$，4）；
綜合得函數(shù)g（a）的值域為[-$\frac{9}{4}$，9]．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的值域問題．解題的關(guān)鍵是求得函數(shù)的解析式和在定義域上的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．