Question

14．已知{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，b_n=$\frac{1}{n}$（a₁+a₂+…+a_n），數(shù)列{a_n}、{b_n}的前n項和分別是S_n、T_n．若S₂₅-T₂₅∈（0，1），求d的取值范圍．

Answer 1

分析 由已知得S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d，T_n=na₁+$\frac{1}{4}$n（n-1）d，從而S_n-T_n=$\frac{1}{4}$n（n-1）d，由此能求出d的取值范圍．

解答 解：∵{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，b_n=$\frac{1}{n}$（a₁+a₂+…+a_n），
a_n=a₁+（n-1）d，
b_n=$\frac{1}{n}$（a₁+a₂+…+a_n）=$\frac{1}{n}$[na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d]
=a₁+$\frac{1}{2}$（n-1）d，
∵數(shù)列{a_n}、{b_n}的前n項和分別是S_n、T_n，
∴S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d，
T_n=na₁+$\frac{1}{4}$n（n-1）d，
S_n-T_n=$\frac{1}{4}$n（n-1）d，
∵S₂₅-T₂₅∈（0，1），∴0＜S₂₅-T₂₅＜1，
∴0＜$\frac{25×24d}{4}$＜1，解得0＜d＜$\frac{1}{150}$．
∴d的取值范圍是（0，$\frac{1}{150}$）．

點評 本題考查等差數(shù)列的公差的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．