Question

1．已知拋物線y²=2px（p＞0），直線AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)為F，則∠AOB的可能值為（　�。�

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 設(shè)出過(guò)焦點(diǎn)的直線方程，結(jié)合向量知識(shí)可得∠AOB不是直角，再由AB為拋物線的通徑時(shí)∠AOB最大求出∠AOB正切值的最大值，從而排除選項(xiàng)C、D，則答案可求．

解答 解：由題意設(shè)AB所在直線方程為x=ty+$\frac{p}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得y²=2pty+p²，即y²-2pty-p²=0．
再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${y}_{1}{y}_{2}=-{p}^{2}$，y₁+y₂=2pt，代入x=ty+$\frac{p}{2}$，得${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{p}^{2}}{4}$．
∴cos$∠AOB=\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}=\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{-\frac{{3P}^{2}}{4}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}≠0$，
則∠AOB$≠\frac{π}{2}$；
當(dāng)AB為拋物線的通徑時(shí)∠AOB最大，此時(shí)tan∠AOF=2，
則tan∠AOB=$\frac{2×2}{1-{2}^{2}}=-\frac{4}{3}$＜-1，
∴∠AOB＜$\frac{3π}{4}$．
∴∠AOB的可能值為$\frac{2π}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，是中檔題．