Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+4，（x∈R）在x=2處取得極小值．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的極小值是-4，求f（x）；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的極小值不小于-6，問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)f（x）在[k，k+3]上單調(diào)遞減．若存在，求出k的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知條件：

f′(2)=0 f(2)=-4

即可建立關(guān)于a，b的兩個(gè)方程，解方程即可求出a，b，從而求出f（x）．
（Ⅱ）先假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，并設(shè)方程f′（x）=3x²+2ax+b=0的兩根為x₁，x₂且x₁＜x₂，則x2=2，x1+2=-

2a

3

，x1=-2-

2a

3

，并且函數(shù)f（x）在[-2-

2a

3

，2]單調(diào)遞減，所以根據(jù)已知條件及假設(shè)可得到：

f(2)≥-6 f′(2)=0 x2-x1=2+2+ 2a 3 ≥3

解不等式便可求出a=-2，b=-6，所以函數(shù)f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞減，這時(shí)候得限制k為：

k≥-1 k+3≤2

，這樣求出k即可．•

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b；
由已知條件得：

12+4a+b=0 8+4a+2b+4=-4

，解得：a=-2，b=-4；
∴f（x）=x³-2x²-4x+4．
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)f（x）在[k，k+3]上單調(diào)遞減；
設(shè)方程f′（x）=3x²+2ax+b=0的兩根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，則x₂=2；
∴x1+2=-

2a

3

，x1=-2-

2a

3

；
∴解3x²+2ax+b＜0得：-2-

2a

3

＜x＜2；
∴函數(shù)f（x）在[-2-

2a

3

，2]上單調(diào)遞減；
由已知條件及f（x）在[k，k+3]上單調(diào)遞減得：

f(2)=8+4a+2b+4≥-6 f′(2)=12+4a+b=0 2+2+ 2a 3 ≥3

，解得a=-

3

2

，b=-6；
∴函數(shù)f（x）在[-1，2]單調(diào)遞減；
∴

k≥-1 k+3≤2

，解得k=-1．
∴存在實(shí)數(shù)k=-1，使得函數(shù)f（x）在[k，k+3]上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評：考查函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，及極值的概念，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．