Question

已知f（x）=x³+2x²+x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²+4x+1，令f′（x）=0，得x1=-1，x2=-

1

3

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-1，-

1

3

）．
（2）由（1）得f（x）在（-1，-

1

3

）單調(diào)遞減，在（-

1

3

，1）單調(diào)遞增，由此能求出當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+2x²+x，x∈R，∴f′（x）=3x²+4x+1，…1分
令f′（x）=0，得x1=-1，x2=-

1

3

，…2分
當(dāng)x∈（-1，-

1

3

）時，f′（x）＜0，…4分
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-1，-

1

3

）．…5分
（2）由（1）得f（x）在（-1，-

1

3

）單調(diào)遞減，
在（-

1

3

，1）單調(diào)遞增，…6分
∵f（-1）=0，f（-

1

3

）=-

4

27

，f（1）=4，…8分
∴f（x）的值域為[-

4

27

，4]…10分．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查函數(shù)在閉區(qū)間上的值域的求法，是中檔題，解題時要注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．