Question

15．已知函數(shù)f（x）+2=$\frac{2}{f（\sqrt{x+1}）}$，當(dāng)x∈（0，1]時，f（x）=x²，若在區(qū)間（-1，1]內(nèi)，g（x）=f（x）-t（x+2）有兩個不同的零點，則實數(shù)t的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{3}$]
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]
• D． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 若g（x）=f（x）-t（x+2）有兩個不同的零點，則函數(shù)f（x）的圖象與y=t（x+2）的圖象有兩個交點，畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答 解：由題意得：
當(dāng)x=0時，f（0）+2=$\frac{2}{f（1）}$=2，所以f（0）=0，
當(dāng)x∈（-1，0]，即$\sqrt{x+1}$∈（0，1]時，
f（$\sqrt{x+1}$）=（$\sqrt{x+1}$）²=x+1，
所以f（x）+2=$\frac{2}{f（\sqrt{x+1}）}$=$\frac{2}{x+1}$，
所以f（x）=$\frac{2}{x+1}$-2，
故函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：

若g（x）=f（x）-t（x+2）有兩個不同的零點，
則函數(shù)f（x）的圖象與y=t（x+2）的圖象有兩個交點，
故t∈（0，$\frac{1}{3}$]，
故選：A

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的圖象，函數(shù)零點與方程根的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．