Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinωx+cosωx（{ω＞0}）$，x∈R，在曲線y=f（x）與直線y=1的交點(diǎn)中，若相鄰交點(diǎn)距離的最小值是$\frac{π}{3}$，則ω=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 利用和差公式可得：函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），令2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）=1，化為sin（ωx+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，解得ωx+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或ωx+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z．由于在曲線y=f（x）與直線y=1的交點(diǎn)中，相鄰交點(diǎn)距離的最小值是$\frac{π}{3}$，可得x₂-x₁=$\frac{2π}{3ω}$=$\frac{π}{3}$，即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx+$\frac{1}{2}$cosωx）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
令2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）=1，
化為sin（ωx+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
解得ωx+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或ωx+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z．
∵在曲線y=f（x）與直線y=1的交點(diǎn)中，相鄰交點(diǎn)距離的最小值是$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{6}$+2kπ=ω（x₂-x₁），令k=0，
∴x₂-x₁=$\frac{2π}{3ω}$=$\frac{π}{3}$，
解得ω=2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．