Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．

(1)令g₁(x)＝g(x)，g_n＋1(x)＝g(g_n(x))，n∈N^*，求g_n(x)的表達(dá)式；

(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解　由題設(shè)得，g(x)＝(x≥0)．

(1)由已知得，…，可得g_n(x)＝.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．

①當(dāng)n＝1時(shí)，g₁(x)＝，結(jié)論成立．

②假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，

即g_k(x)＝.

那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，g_k＋1(x)＝g(g_k(x))＝即結(jié)論成立．

由①②可知，結(jié)論對(duì)n∈N^*成立．

(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，

即ln(1＋x)≥恒成立．

設(shè)φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，

即，

當(dāng)a≤1時(shí)，φ′(x)≥0(僅當(dāng)x＝0，a＝1時(shí)等號(hào)成立)，

∴φ(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又φ(0)＝0，

∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，

∴a≤1時(shí)，ln(1＋x)≥恒成立(僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立)．

當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，

∴φ(x)在(0，a－1]上單調(diào)遞減，

∴φ(a－1)<φ(0)＝0.

即a>1時(shí)，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥不恒成立，

綜上可知，a的取值范圍是(－∞，1]．