Question

如圖，設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)為F（1，0），A為橢圓的上頂點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為

2

-1．過(guò)F作橢圓的弦PQ，直線AP，AQ分別交直線x-y-2=0于點(diǎn)M，N．
（1）求橢圓的方程；
（2）求當(dāng)|MN|最小時(shí)，直線PQ的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意知，c=1，a-c=

2

-1，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線PQ：x-my-1=0，由

x-my-1=0 x2 2 +y2=1

．得（m²+2）y²+2my-1=0，由此能求出當(dāng)|MN|取最小值時(shí)PQ的方程．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)為F（1，0），
A為橢圓的上頂點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為

2

-1．
∴由題意知，c=1，a-c=

2

-1，
解得a=

2

，b=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．

（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線PQ：x-my-1=0，
由

x-my-1=0 x2 2 +y2=1

．消去x，得（m²+2）y²+2my-1=0，
∴y1+y2=-

2m

m2+2

，y1y2=-

1

m2+2

，
設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（x_M，y_M），（x_N，y_N）．
因?yàn)橹本�AP的方程為y-1=

y1-1

x1

x，
由

y-1= y1-1 x1 x x-y-2=0

，得x_M=

3my1+3

(m-1)y1+2

，
同理，x_N=

3my2+3

(m-1)y2+2

，
∴|MN|=

2

|xM-xN|=

1

2

•

m2-1

|m-7|

，
設(shè)m-7=t，則|MN|=

1

2

•

50( 1 t + 7 50 )2+ 1 50

，
當(dāng)

1

t

=-

7

50

，即m=-

1

7

時(shí)，|MN|取最小值．
∴當(dāng)|MN|取最小值時(shí)PQ的方程為y=-7x+7．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．