Question

已知P是△ABC內(nèi)一點，且滿足

PA

+2

PB

+3

PC

=0，記△ABP、△BCP、△ACP的面積依次為S₁、S₂、S₃，則S₁：S₂：S₃

 

．

Answer 1

分析：有已知的等式變形可得∴

BA

=-6

PD

，

PE

=-

1

3

BA

，P到BC的距離等于A到BC的距離的

1

6

，P到AC的距離等于B到AC的距離的

1

3

．從而，S₂ =

1

6

S，S₃ =

1

3

S，S₁ =S-S₂-S₃ =

1

2

S，從而求得S₁：S₂：S₃ 的值．

解答：解：如圖：設(shè)D、E 分別為BC、AC的中點，
∵

PA

+2

PB

+3

PC

=0，∴

PA

-

PB

=-3（

PB

+

PC

），
∴

BA

=-3×2

PD

=-6

PD

，
同理由（

PA

+

PC

）=-2（

PB

+

PC

），即  2

PE

=-2×

PD

，
∴

PE

=-

1

3

BA

．∴P到BC的距離等于A到BC的距離的

1

6

，
設(shè)△ABC的面積為S，則S₂ =

1

6

S．
 P到AC的距離等于B到AC的距離的

1

3

，
∴S₃ =

1

3

S．∴S₁ =S-S₂-S₃ =

1

2

S．
∴S₁：S₂：S₃ =

1

2

S：

1

6

S：

1

3

S=3：1：2，
故答案為：3：1：2．

點評：本題考查共線向量的意義，兩個同底的三角形的面積之比等于底上的高之比，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．