Question

已知函數(shù)f（x）=log₂

x

2

×log

2

x

2

，其中x∈[

1

2

，8]．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）若實(shí)數(shù)a滿足：f（x）-a≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可將函數(shù)解析式化為函數(shù)f（x）=log₂²x-3log₂x+2，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及x∈[

1

2

，8]，可得f（x）的最大值和最小值；
（2）若實(shí)數(shù)a滿足f（x）-a≥0恒成立，即a≤f（x）恒成立，則a≤f（x）_min，結(jié)合（1）中結(jié)論，可得a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₂

x

2

×log

2

x

2

=log₂²x-3log₂x+2，
令t=log₂x，由x∈[

1

2

，8]得：t∈[-1，3]，
則y=f（x）=t²-3t+2，
∴當(dāng)t=-1時(shí)，f（x）取最大值6，
當(dāng)x=

3

2

時(shí)，f（x）取最小值-

1

4

，
（2）若實(shí)數(shù)a滿足f（x）-a≥0恒成立，
即a≤f（x）恒成立，
則a≤f（x）_min，
由（1）得a≤-

1

4

，
故a的取值范圍為：（-∞，-

1

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，恒成立問題，其中熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．