Question

6．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的非負(fù)半軸重合，長(zhǎng)度單位相同，直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=t-1\\ y=t+1\end{array}\right.（{t為參數(shù)}）$，曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}}$）．
（Ⅰ）判斷曲線C的形狀，簡(jiǎn)述理由；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C相交于M，N，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求三角形MON的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用兩角差的正弦公式和ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得到曲線C的普通方程，即可判斷形狀；
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程代入圓的普通方程，可得M，N的坐標(biāo)，再由三角形的面積公式計(jì)算即可得到．

解答 解：（Ⅰ）ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}}$）即為ρ=2$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ）
=2sinθ-2cosθ，即ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ，
即有x²+y²+2x-2y=0，即為（x+1）²+（y-1）²=2，
則曲線C的形狀為以（-1，1）為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓；
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=t-1\\ y=t+1\end{array}\right.（{t為參數(shù)}）$，
代入圓（x+1）²+（y-1）²=2，可得2t²=2，
解得t=±1，
可得M（0，2），N（-2，0），
則三角形MON的面積為S=$\frac{1}{2}$×2×2=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程和普通方程的互化，同時(shí)考查直線和圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．