Question

10．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足2≤$\sqrt{x}$•y≤3，1≤$\frac{x}{\sqrt{y}}$≤2，則使得a≤$\frac{{x}^{3}}{{y}^{4}}$≤b恒成立的b的最小值是4．

Answer 1

分析 通過(guò)對(duì)2≤$\sqrt{x}$•y≤3變形可得$\frac{1}{9}$≤$\frac{1}{x•{y}^{2}}$≤$\frac{1}{4}$，利用1≤$\frac{x}{\sqrt{y}}$≤2可得1≤$\frac{{x}^{4}}{{y}^{2}}$≤16，兩者相乘即得結(jié)論．

解答 解：∵2≤$\sqrt{x}$•y≤3，
∴4≤x•y²≤9，∴$\frac{1}{9}$≤$\frac{1}{x•{y}^{2}}$≤$\frac{1}{4}$，
∵1≤$\frac{x}{\sqrt{y}}$≤2，
∴1≤$\frac{{x}^{4}}{{y}^{2}}$≤16，
∴1•$\frac{1}{9}$≤$\frac{{x}^{4}}{{y}^{2}}$•$\frac{1}{x•{y}^{2}}$≤16•$\frac{1}{4}$，
即$\frac{1}{9}$≤$\frac{{x}^{3}}{{y}^{4}}$≤4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．