Question

【題目】若對任意的正整數(shù)，集合的任意元子集中，總有三個元素兩兩互素.求的最小值.

Answer 1

【答案】68

【解析】

考慮時的集合的67元子集，其元素為偶數(shù)及被3整除的奇數(shù)，即

.

顯然，集合中不存在三個兩兩互素的元素.

于是，不符合要求.

下面證明符合要求.

先證明一個引理.

引理對任意的正整數(shù)，集合

的任意五元子集中，總有三個元素兩兩互素.

證明，設為集合的一個五元子集.

注意到，這六個數(shù)三奇三偶，且恰有一個為5的倍數(shù).

于是，若集合中含有三個奇數(shù)，則這三個奇數(shù)必兩兩互素，結論成立.

若集合中元素為兩奇三偶，由于三個偶數(shù)中至多有一個為3的倍數(shù)，至多有一個為5的倍數(shù)，因此，三個偶數(shù)中必有一個數(shù)既不為3的倍數(shù)，也不為5的倍數(shù)，它與兩個奇數(shù)兩兩互素，結論成立.

回到原題.

對任意的正整數(shù)，將集合劃分成如下17個集合：

，

，

設為集合的68元子集.

（1）若集合有四個元素來自集合，由于為奇數(shù)時，、、兩兩互素；為偶數(shù)時，、、兩兩互素，因此，集合中至少有三個元素兩兩互素.

（2）若集合至多有三個元素來自集合，則集合至少有65個元素來自集合.

根據(jù)抽屜原理，知集合至少有五個元素來自同一個集合，不妨設其來自集合.由引理，知它們中存在三個兩兩互素的元素.因此，集合中總有三個兩兩互素的元素.

從而，符合要求，即對任意的正整數(shù)，集合的任意68元子集中，總有三個元素兩兩互素.

綜上，的最小值為68.