Question

14．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≥2x}\\{2x+y≤4}\\{x≥m}\end{array}\right.$，目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值是最小值的3倍，則m=（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值是最小值的3倍，建立方程關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y≥2x}\\{2x+y≤4}\\{x≥m}\end{array}\right.$對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖
由z=x+y得y=-x+z，
平移直線y=-x+z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最大，
此時(shí)z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=4}\\{x=m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{y=4-2m}\end{array}\right.$即A（m，4-2m），
此時(shí)z=m+4-2m=4-m，
當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最小，
此時(shí)z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{y=2x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{y=2m}\end{array}\right.$，
即B（m，2m），此時(shí)z=3m，
∵目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值是最小值的3倍，
∴4-m=9m，
即m=$\frac{2}{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．